UKURAN DISPERSI (BIOSTATISTIKA)

Ukuran Dispersi

A.Pengertian Dispersi

Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan  adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai – nilai data dari nilai – nilai pusatnya atau menyatakan seberapa banyak nilai – nilai data yang berbeda dengan nilai – nilai pusatnya.

B.Jenis – Jenis Ukuran Dispersi

1. Jangkaun ( Range, R )

Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecil data. Jangkauan terbagi menjadi dua:

a.Jangkauan data tunggal

Bila ada sekumpulan data tunggal X_1, X₂......X_n  maka jangkauanya adalah

                                          Jangkauan = X_n – X₁

Contoh Soal:

Tentukan jangkauan data: 1, 4, 7, 8, 9, 11 !

Penyelesaian:

X₆ = 11 dan X₁ = 1

Jangkauan = X₆ – X₁ = 11 – 1 = 10

b. Jangkauan Data Berkelompok

Dalam menggunakan data ini, jangkauan dapat ditentukan dengan dua cara yaitu menggunakan titik atau nilai tengah dan menggunakan tepi kelas.

1)Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.

2)Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi bawah kelas terendah.

Contoh soal:

Tentukan jangkauan dan distribusi frekuensi berikut!

Tabel 5.1 PENGUKURAN TINGGI BADAN 50 MAHASISWA

Tinggi Badan	Frekuensi
140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164 165 – 169 170 - 174	2 4 10 14 12 5 3
Jumlah	50

Dari data tersebut kita dapat menentukan nilai – nilai berikut ini:

Titik tengah kelas terendah = 142

Titik tengah kelas tertinggi = 172

Tepi bawah kelas terendah = 139,5

Tepi atas kelas tertinggi = 174,5

1.Jangkauan = 172 – 142 = 30

2.Jangkauan = 174,5 – 139,5 = 35

Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil

JK = Q3 – Q1

Jangkauan antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas (Q₃) dan kuartil bawah (Q₁). Dirumuskan:           

Qd = ½ (Q3 – Q1)

Jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas (Q₃) dengan kuartil bawah (Q₁). Dirumuskan:

                                         

Rumus – rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok.

Contoh soal:

1.Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari data berikut!

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14

Penyelesaian:

Q₁ = 4 dan Q₃ = 12

JK = Q₃ – Q₁

     = 12 – 4 = 8

Qd = ½ (12 – 4) = 4

2.Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangakuan semi interkuartil distribusi frekuensi berikut!

Tabel 5.2 Nilai Statistik 80 Mahasiswa Universitas Islam Sunan Kalijaga, Semester II, Jurusan Pendidikan Biologi, 2015

Nilai	Frekuensi (f)
30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 - 99	2 3 5 14 24 20 12
Jumlah	80

 Penyelesaian:

Q₁ = B₁ + ^{n/4 – (Ef}₁^{)o .} _C                                  Q₃ = B + ^{3n/4 – (f}₃^{)o .} _C   JK = 85,5 – 66, 64 =18,86

                          ^f_q1                                                                                   ^f_q3                    Qd = ½ (85, 5 – 66, 64) = 9,43

   = 59,5 + 20 – 10 x 10                       = 79,5 + 60 – 48 x 10

                     14                                                      20

  = 59,5 + 7,14 = 66, 64                       = 79,5 + 6 = 85,5

L = 1,5 x JK PD = Q1 – L PL = Q3 + L

JK dapat digunakan untuk menentukan adanya pencilan yaitu, data yang kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar.

                                                                                                 Keterangan:

                                                                                                L = satu langkah

                                                                                                 PD = pagar dalam

                                                                                                 PL = pagar luar

Contoh soal:

Selidikilah apakah terdapat data pencilan dari data di bawah ini!

15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97

Penyelesaian:

Q₁ = 50 dan Q₃ = 68              L = 1,5 x 18 = 27        PL = 68 + 27 = 95

JK = 68 – 50 = 18                  PD = 50 – 27 = 23

Deviasi Rata – rata ( Simpangan Rata – rata )

Deviasi rata – rata adalah nilai rata – rata hitung dari harga mutlak simpangan – simpanganya. Deviasi rata – rata di bagi menjadi 2 yaitu, deviasi rata – rata data tunggal dan berkelompok.

a.Deviasi rata – rata data tunggal

 

Contoh Soal:

Tentukan deviasi rata – rata dari 2, 3, 6, 8, 11!

Penyelesaian: Rata – rata hitung = X = 2+3+6+8+11 = 6                  DR = 14 = 2,8

                                                                        5                                              5

E X₁ – X = 2 – 6 + 3 – 6 + 3 – 6 + 6 -  6 + 8 – 6 + 11 – 6 = 14

DR = 1/n Ef  X – X = Ef   X – X                                               n

b. Deviasi rata – rata untuk data berkelompok

 

4. Varians

Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai tengah atau simpangan rata – rata kuadrat. Varians terbagi menjadi berikut:

a.Varians data tunggal

- Metode biasa

s = ; untuk data > 30

s = ; untuk data  30

-Metode angka kasar

S² = Untuk sampel besar ( n > 30 )

S² = Untuk sampel kecil

Contoh soal:

Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11!

Penyelesaian: n = 5          

X	X -
2 3 6 8 11	-4 -3 0 2 5	16 9 0 4 25	4 9 36 64 121
30	0	54	234

Varians data berkelompok

1)Metode Biasa

Untuk sampel besar ( n > 30 )  ;Sampel kecil

2)Metode angka kasar

 ;Untuk sampel besar ( n > 30 )

; Sampel kecil

3)Metode cading

;Untuk sampel besar ( n > 30 )

; Sampel kecil

Keterangan:

C= Panjang interval kelas       M= rata – rata hitung sementara

U=

Contoh soal :

Tentukan Varians dari distribusi frekuensi berikut!

Tabel Pengukuran diameter pipa

Diameter ( mm )	Frekuensi
65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 - 82	2 5 13 14 4 2
Jumlah	40

Penyelesaian:

Diameter (mm)	X	f
65 – 67 68 – 70 71 – 73 74 – 76 77 – 79 80 - 82	66 69 72 75 78 81	2 5 13 14 4 2	-7,425 -4,425 -1,425  1,575   4,575   7,575	55,131 19,581 2,031 2,481 20,931 57,381	110,262 97,905 26,403 34,734 83,724 114,762
Jumlah	-	40	-	-	467,790

C.Varians gabungan

Contoh soal:

Hasil pengamatan terhadap 20 objek mendapatkan s=4. Pengamatan terhadap 30 objek mendapatkan s = 5. Berapakah varians gabungannya?

Penyelesaian:

Simpangan Baku ( Standar Deviasi )

Cara mencari simpangan baku, dibedakan antara tunggal dan kelompok.

a)Simpangan baku data tunggal

; Untuk sampel besar ( n > 30 )

;Untuk sampel kecil

Contoh soal:

1.Tentukan simpangan baku ( standar deviasi ) dari data 2, 3, 6, 8, 11!

Penyelesaian:

Dari perhitungan, diperoleh varians ( s² )= 13,5

Dengan demikian, simpangan bakunya adalah = 3,67

2.Berikut ini adalah sampel nilai mid test statistik I dari sekelompok mahasiswanya di sebuah universitas.

30 35 42 50 58 66 74 82 90 98

Tentukan simpangan bakunya !

Penyelesaian: n=10

X			X2
30 35 42 50 58 66 74 82 90 98	-32,5 -27,5 -20,5 -12,5 -4,5 3,5 11,5 19,5 27,5 35,5	1.065,25 756,25 420,25 156,25 20,25 12,25 132,25 380,25 756,25 1.260,25	900 1.225 1.764 2.500 3.364 4.356 5.476 6.724 8.100 9.604
625	62,5	4.950,5	44.013

 Simpangan baku data berkelompok

a)Untuk sampel besar ( n > 30 ):         b)Untuk sampel kecil

                          

Contoh soal:

1.Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut!

Berat Badan 100 Mahasiswa Universitas “B” tahun 1997

Berat Badan ( kg )	Frekuensi (F)
40 – 44                          45 – 49                          50 - 54                          55 - 59                          60 – 64                          65 – 69                          70 - 74	8 12 19 31 20 6 4
Jumlah	100

Penyelesaian:

Berat Bedan	X	F	FX			f.
40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 - 74	42 47 52 57 62 67 72	8 12 19 31 20 6 4	336 564 988 1.767 1.240 402 288	-13,85 -8,85 -3,85 1,15 6,15 11,15 16,15	191,8225 78,3325 14,8225 1,3325 37,8225 124,3225 260,8225	1.534,58 939,87 281,63 40,99 756,45 745,94 1.043,29
Jumlah		100	5.585			5.342,75

               

Simpangan baku gabungan

                  

Contoh soal:                     

Jika diketahui:n₁₌150     n₂₌ 40         S₁₌ 6,04           S₂₌ 3,42

Tentukan s_gab!

Penyelesaian:

Koefisien Variansi

Untuk membandingkan dispersi atau variansi dari beberapa kumpulan data digunakan istilah dispersi relatif. Dispersi relatif dirumuskan:Dispersi relatif =  

Berikut ini adalah empat macam dispersi relatif, yaitu :

1.Koefisien Variansi ( KV )

               Keterangan: KV = koefisien variansi        s = simpangan baku

                                                               

Contoh Soal:

Dari hasil penelitian terhadap besi beton di toko A dan toko B, diperoleh data sebagai berikut